[ 요약 ]

- 1차원 공간에서 1 이하의 거리에 있는 점을 가까운 점으로 정의하면 전체 100%가 가까운 점이 됨
- 2차원 공간에서는 가까운 점이 원 안에 위치하며, 이를 계산하면 78.5%가 됨
- 3차원 공간에서는 가까운 점이 구 안에 위치하며, 이를 계산하면 52.4%가 됨
- 4차원 공간에서는 가까운 점이 하이퍼 스피어 안에 위치하며, 이를 계산하면 30%가 됨

- 하이퍼큐브가 차지하는 공간은 전체 공간의 30% 정도이다.
- 하이퍼큐브의 부피는 모든 변의 길이가 2이므로 2의 n승이 된다.
- 하이퍼스피어의 부피는 삼각함수 적분 치환적분으로 구할 수 있다.
- n차원 하이퍼스피어의 부피도 일반화된 계산식을 통해 구할 수 있다.
- n이 커짐에 따라 하이퍼스피어의 부피는 0으로 수렴하게 된다.
- 상상은 항상 시각적으로 익숙한 2차원이나 3차원으로 이루어지기 때문에 이해가 어려울 수 있다.
- 하이퍼스피어는 고차원에서도 유의미한 공간을 차지할 수 있다.

- 4차원 현상은 비직관적이지만 예측이 가능하다.
- 2차원에서 원은 사각형 안에 접하는 모양이 되고, 3차원에서 정육면체에는 8개의 코너가 있다.
- 4차원에서는 큐브인 테서렉트에는 16개의 코너가 있으며, 그 주변 공간이 하이퍼스피어 안에 존재하는 공간보다 훨씬 크다.
- 고차원은 코너들의 분포와 차지하는 비율이 매우 작아짐을 알 수 있다.
- 하이퍼큐브를 전체 공간으로 생각하고 유니폼 랜덤하게 점을 뿌렸을 때, 점 사이 거리가 가장 작은 거리를 찾으면 네트워크 형태가 생긴다.

- 고차원에서는 거리 비율이 수렴하여 가까운 것과 멀리 떨어진 것을 구분하기 어려움
- 차원을 높일수록 데이터 포인트의 거리 비율이 수렴하게 됨
- 이를 컬스 오브 디멘셔널리티 차원의 저주라고 함
- 이는 빅데이터, 머신러닝, AI 분야에서 중요한 문제됨

- 빅데이터는 고차원 데이터를 다루는데 어려움이 있다.
- 차원이 높아지면 유의미한 정보를 찾는 것이 어렵다.
- 거리 개념이 차원이 높아질수록 희미해진다.
- 이를 해결하기 위해서는 데이터를 더 많이 확보하거나 인풋 데이터의 차원을 감소시켜야 한다.

Unbelievable phenomena in an n-dimensional world!!!

https://www.youtube.com/watch?v=EXHR2-hECRM

[ Summary ]

- In one-dimensional space, if we define a close point as a point that is less than or equal to 1, then 100% of the points are close.
- In two-dimensional space, the nearest point is inside the circle, which is 78.5%.
- In three-dimensional space, the closest point is inside the sphere, which is 52.4%.
- In four-dimensional space, the nearest point is inside the hypersphere, which is 30%.

- The space occupied by the hypercube is about 30% of the total space.
- The volume of the hypercube is n times 2 because all sides are 2 in length.
- The volume of a hypersphere can be found by trigonometric integral substitution.
- The volume of an n-dimensional hypersphere can also be found using the generalized formula.
- As n increases, the volume of the hypersphere converges to zero.
- This can be difficult to understand because the imagination is always in two or three visually familiar dimensions.
- Hyperspheres can take up significant space in higher dimensions.

- Four-dimensional phenomena are counterintuitive but predictable.
- In two dimensions, a circle is tangent to a square, and in three dimensions, a cube has eight corners.
- In four dimensions, a tesseract, a cube, has 16 corners, and the space around it is much larger than the space inside a hypersphere.
- You can see that in higher dimensions, the distribution and proportion of corners becomes much smaller.
- If you think of the hypercube as the entire space and scatter points uniformly at random, finding the smallest distance between points will give you a network.

- In higher dimensions, distance ratios converge, making it difficult to distinguish between near and far.
- As you increase the dimensionality, the distance ratios of the data points converge.
- This is known as the curse of curse of dimensionality.
- This is a major problem in big data, machine learning, and AI.

- Big data has difficulty dealing with high-dimensional data.
- As dimensionality increases, it becomes difficult to find meaningful information.
- The concept of distance fades as dimensionality increases.
- To solve this, you need to either get more data or reduce the dimensionality of the input data.

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